Elevers svar er mer enn bare riktig eller galt

Hvorfor er det slik at majoriteten av lærere velger å dominere klasseromsdiskusjonen når en stor andel forskning viser til at resonnering og argumentering av matematiske løsninger i klasseromssamtalen fører til en dypere forståelse av matematikk? (William, 2007). Kanskje er det slik at lærerne ikke velger dette bevisst, men tradisjon og uvitenhet spiller en større rolle? Et større fokus på bakgrunnen for et elevsvar er det vi vil se nærmere på.

På verdensbasis eksisterer det en lærerstil som benyttes i stor grad av mange lærere. Det er en lærerstil hvor læreren innehar en dominerende rolle i en klasseromssamtale, nemlig IRE; initiate - response - evaluate. I sin ekstreme form innebærer dette læreren som stiller et spørsmål høyt i klassen; initiate, eleven gir et svar;response, og til slutt evaluerer læreren om svaret er riktig eller galt; evaluate. De fleste matematikk- lærere opprettholder et slikt interaksjonsmønster, noe som fører til et større fokus på svaret elevene kommer med, i stedet for å fokusere på strategiene elevene brukte for å komme frem til dette svaret. Et slikt fokus leder til et mønster hvor elevene ikke får diskutert sammenhenger i matematikken, men leder til at de forstår matematikken som oppgaver med kun en riktig vei til svaret (Franke, Kazemi, & Battey, 2007). Et resultat av dette blir at elevene opparbeider seg en begrenset tenkemåte og blir passive elever med liten matematisk forståelse.

Passive elever er noe ingen lærere ønsker, det samme gjelder å utdanne elever med 

kun en instrumentell forståelse, som betyr at elevene ikke forstår matematikken, men løser oppgavene riktig ved hjelp av regler og prosedyrer. Hvordan du som lærer legger opp din undervisningspraksis sammen med elevene vil påvirke hvordan elevene oppfører seg i en undervisningssituasjon. Ved å benytte seg kun av IRE i sin ekstreme form vil det i all hovedsak fostre passive elever, samt elever med en forståelse av matematikken som 
ensidig. Noe som betyr at de ser på matematikken som bare én rett fremgangsmåte til det éne rette svaret. Så, hvordan kan du som lærer endre på dette? Hvordan kan du som lærer legge opp til en undervisning som skaper aktive elever og elever med en relasjonell forståelse? Relasjonell forståelse handler om at elevene ser sammenheng mellom ulike matematiske emner og forstår matematikken som noe  
mer enn bare regler og prosedyrer. 

Gjennom dette innlegget vil vi se på hva forskning sier om god undervisning for å legge den muntlige aktiviteten over på elevene i en klasseromsdiskusjon. God undervisning ser vi på som en kontekst hvor elevene får maksimalt utbytte av en læringssituasjon. Klasseledelse er en av grunnpilarene for å fremme læring i et klasserom. En proaktiv og relasjonsorientert klasseledelse hvor læreren lytter til elevene er viktig for god undervisning. Derfor ønsker vi å fokusere på dette spørsmålet:

“Hvordan kan du som lærer skape en dypere forståelse hos elevene gjennom at elevene

responderer på hverandres løsningsforslag og hvilket utbytte har elevene av dette?”

 Vi vil først komme med en begrunnelse på hvorfor du som lærer skal få elevene til å dele sine løsningsforslag, før vi deretter viser deg fem steg som hjelp på veien. Det er viktig å få frem at dette kan skje i mange ulike kontekster og sammensetninger, men vi vil nå fokusere på klasseromssamtalen som foregår i hel klasse.

Aktive eller passive elever?

Å kunne uttrykke seg muntlig i matematikk er en av de grunnleggende ferdighetene fra LK-06 (Utdanningsdirektoratet,2014). Det innebærer blant annet å kunne argumentere og forklare en tankegang, samt kommunisere og drøfte ideer og løsningsstrategier med andre. Å kunne uttrykke seg muntlig i matematikk er en ferdighet som av og til ikke prioriteres like høyt som andre ferdigheter. Likevel sier forskning at å snakke om matematiske konsepter, prosedyrer og problemløsningsoppgaver hjelper elevene med å forstå matematikken dypere og med større klarhet (Chapin & O'Connor , 2009).Vi undrer oss over hvorfor det er så mange passive elever? Er det elevene selv som bestemmer hvilken posisjon de skal innta i en undervisningssituasjon? Nei! Som lærer er det du som har føring for hvordan kommunikasjonen i undervisningen legges opp, og det er du som bestemmer hvem som dominerer den muntlige aktiviteten. Det er også du som lærer som har ansvar for at samtalen fokuserer på matematisk innhold, fordi elevene må forstå at det å snakke matematikk vil hjelpe de å forstå det de lærer (Chapin & O'Connor , 2009). Du som lærer har et spesielt ansvar for å sørge for at elevene får et maksimalt utbytte av undervisningen. Hvorfor er det slik at mange lærere fortsatt velger å dominere klasseromsdiskusjon når forskning viser til at  klasserommet må bli en plass hvor elevene må engasjere seg kognitivt med matematikken som de skal lære (Wiliam, 2007).

Det å være passiv som elev i en læringssituasjon innebærer en lærer som står i front i klasserommet og demonstrerer ulike metoder, før så elevene kopierer metodene i sin egen bok, og deretter jobber med å løse nesten identiske matematikkstykker for å øve seg på metoden. Ved å arbeide slik aktiveres ikke kreativiteten og resonneringsevnen til elevene. De erfarer da at å tenke selvstendig ikke er nødvendig for å kunne mestre 

matematikktimene. For å lykkes trenger en kun å være god på å følge læreren for 

deretter å kopiere han. Memorering blir et viktig stikkord

i denne sammenhengen. Elevene erfarer matematikk som å memorere bestemte metoder vist av læreren, uansett om de forstår eller ikke. Dette kan være med på å føre til en instrumentell forståelse i stedet for en relasjonell forståelse. Hva er det vi som lærere egentlig er ute etter? Relasjonell eller instrumentell forståelse? (Boaler, 2009).

Både forskere og teoretikere ser på matematisk kommunikasjon som en viktig del innenfor matematikken, men med ulike perspektiver. Alle perspektivene inkluderer derimot sosialt engasjement gjennom diskusjon og felles representasjon, med fokus på å utvikle matematiske ideer. Noen forskere ser også på kommunikasjon i matematikk som en måte å videreutvikle praksis i matematikk, med blant annet forklaring og  argumentering. Andre fokuserer på elevenes deling av svar og løsninger og ideer rundt det, og andre igjen fokuserer på å utvikle matematiske argumenter (Franke, Kazemi, & Battey, 2007). Også Chapin og O´Connor (2009) fokuserer på at matematiske diskusjoner er med på å hjelpe elevene med å få en dypere forståelse for matematikken, samt se hvordan matematikken henger sammen. Det er med på å lære elevene å argumentere for hvorfor ulike metoder fungerer. De lærer seg å reflektere over svarene de får og metoden de bruker for å komme frem til de ulike svarene.

Men hvorfor skal du som lærer få elevene til å dele sine løsningsstrategier når du kan den enkleste og beste metoden?

Mange lærere bruker en bestemt metode og algoritme som de underviser elevene i, og ofte prøver læreren å rette på elevene dersom de bruker en annen metode enn den læreren har undervist i (Ma, 2010). Når elevene kun kan en metode og kun bruker den metoden læreren har vist kan det føre til en instrumentell forståelse hvor elevene bare memorerer de ulike stegene i en algoritme (Skemp, 1976). Gir man elevene mulighet til å tenke selv er det et mye bedre utgangspunkt for å få frem den relasjonelle forståelsen hos elevene. En annen positiv fordel ved å la elevene komme med sine løsningsstrategier, er at det kan få flere elever til å forstå. I praksis har vi selv opplevd at det kan være vanskelig å få elevene til å forstå noe i matematikk, men at elevene forstår når andre elever forklarer hva de har tenkt. Flere ulike løsningsmetoder vil øke sannsynligheten for at flere elever forstår enn dersom man kun presenterer en bestemt metode.

En annen fordel med at elevene deler tankene sine og de andre elevene skal respondere på dem, er at elevene blir ”tvunget” til å resonnere og argumentere over sine egne svar og må rekonstruere sitt svar for å kunne respondere på svaret til en medelev. De må også resonnere over andres svar, og kunne argumentere for at det en annen elev sier er riktig eller galt, og hvorfor. En metode som dette handler om å få elevene til å snakke matematikk, og tenke sine egne metoder for å løse oppgaver. Dette fører til en dypere matematisk forståelse hvor elevene ikke har muligheten til å slenge ut et svar på en oppgave, de er nødt til å tenke hva de har gjort og hvorfor den metoden de bruker fungerer (Chapin & O'Connor , 2009).

Fem steg du som lærer kan bruke i en klasseromsdiskusjon

Som lærer har du muligheten til å bestemme hvordan du vil at elevene skal være i klasserommet. Skal de være aktiv eller passiv? Classroom discussions av Chapin og O´Connor (2009) viser til 5 steg for å skape en lærerik diskusjon i klasserommet. Der det går fra en lærer som dominerer klasseromssamtalen og inn i et mønster hvor elevene styrer undervisningen og der du som lærer fungerer mer som en ordstyrer i diskusjonen. Vi vil gå inn disse stegene hvor vi fokuserer på at elevene skal dele og lære av hverandres løsningsmetoder. Ved å inntre i denne rollen, skaper du som lærer et rom til elevene hvor de kan utfolde seg og hvor de selv må rekonstruere sine egne tanker, noe som kan føre til en dypere forståelse av matematikken.

Si mer

Si mer er det første steget som blir nevnt av Chapin og O´Connor (2009). Ofte når læreren stiller elever spørsmål i matematikk, svarer eleven kun selve svaret på oppgaven. De sier sjelden noe om hvordan de har kommet frem til svaret, og de gangene de prøver å si noe om hva de har tenkt, sier de ofte veldig lite og det er kanskje vanskelig å forstå. Et poeng med at elevene skal dele sine løsningsmetoder er at andre elever skal få et læringsutbytte. Dermed er det viktig at du som lærer fokuserer på å at løsningsforslaget eleven har, blir forklart på en slik måte at det blir forståelig for de andre elevene. Her kan man bruke steget som går ut på at læreren ber eleven si noe mer om hva den har tenkt slik som illustrert i bildet. Denne metoden er viktig å bruke både når elevene har svart riktig, eller dersom de har svart galt for å kunne få medelevene til å diskutere svarene. 

Gjenta

Det andre steget er gjenta. Når en elev deler en metode som er god eller som får frem en god forståelse og du som lærer ønsker at de andre elevene burde få den med seg. Da kan man bruke et steg som handler om å få andre elever til å gjenta det eleven nettopp forklarte. Det at noen blir bedt om å gjenfortelle det en elev sa vil gjøre at elevene blir oppmerksom på å følge med. En annen mulighet ved dette steget er at læreren spør elevene om å gjenta det en elev sa, bare med sine egne ord.

Tilføye

Å tilføye er det tredje steget til Chapin & O'Connor (2009). Noen ganger kommer elever med resonneringer eller utsagn som er forståelig for hele klassen og det er mulig å respondere på utsagnet. Når dette skjer har du som lærer mulighet til å gripe tak i dette utsagnet og få de andre elevene til å engasjere seg i klassekameratens resonnering og skape en diskusjon ved å be noen fortsette eller tilføye noe på resonneringen.  

Enig eller uenig?

Det fjerde steget er enig eller uenig. Når en elev deler sin løsningsmetode er det viktig å få med de andre elevene i klassen for å kunne resonnere over om metoden fungerer eller ikke. Gjennom IRE metoden ville kanskje læreren sagt at det er rett eller galt, men her fokuserer vi på at elevene selv skal respondere på hverandres svar. Et spørsmål læreren da kan stille klassen er om de er enige eller uenige i løsningsforslaget som ble fremstilt. Når elevene responderer med enig eller uenig kan man videre få dem til å forklare hvorfor de er enige eller uenige. En annen måte kan være å spørre elevene om de har noen andre løsningsforslag. Spørsmål som dette gjør at elevene er nødt til å tenke gjennom andres svar, og når læreren i tillegg ønsker en forklaring på hvorfor en elev er enig eller uenig, er elevene nødt til å følge med på hva som blir sagt, og hele tiden tenke gjennom løsningsmetoden for å kunne respondere på om eleven er enig eller uenig (Chapin & O'Connor , 2009).

Ventetid

Det siste steget er ventetid, som går ut på at læreren venter noen sekunder før han lar noen svare. Ventetid er ikke  steg som direkte får elevene til å responderer på hverandres løsningsforslag, men et steg som gir flere elever muligheten til å respondere. Når læreren venter med å gi en elev ordet øker sjansen for å få med flere elever i diskusjonen. Læreren gir elevene tid til å resonnere over hva som er blitt sagt for så å finne frem til et svar eller argument til diskusjonen. Dersom læreren ikke tar i bruk dette steget, men velger ut den som skal svare med en gang, vil dette føre til at de elevene som rekker opp hånden først er de som fører ordet i klasserommet. Dette vil føre til at en stor andel elever ikke blir inkludert i den matematiske diskusjonen i klasserommet (Chapin & O'Connor , 2009).

Vi har laget en film som illustrerer hvordan disse stegene kan brukes i praksis.

Hvilket utbytte får elevene når du som lærer bruker disse stegene?

Vi har til nå sett på 5 ulike steg som læreren kan bruke for å aktivisere elevene i en klasseromsdiskusjon hvor elevene deler sine løsningsforslag. Vi nevnte også tidligere om hvorfor elevene burde diskutere sine løsninger med hverandre. Vi vil til slutt begrunne hvorfor elevene utvikler en dypere forståelse gjennom at du som lærer hjelper elevene å respondere på hverandres løsningsforslag ved to begreper, resonnering og rekonstruering.

Resonnering

Disse fem metodene kan fungere som et verktøy for deg som lærer for å vinkle aktiviteten i en klasseromsdiskusjon over på elevene. For elevene kan dette føre til økt læring på grunn av at de konstant må rekonstruere sine egne tanker. Mogens Niss (2002) har en kompetansemodell med 8 ulike matematiske ferdighetsområder som til sammen utgjør en persons helhetlige matematiske kompetanse. En av disse kompetansene er resonneringskompetansen, som handler om å være i stand til å forstå, bedømme og argumentere for svar på matematiske spørsmål. Også NCTM (NCTM, u.å) har en modell som handler om forståelsen, kunnskapen og ferdighetene som elevene skal tilegne seg gjennom skoleløpet, en av disse er “resonnering og bevis”. Det at elevene blir bedt om å forklare hva de har tenkt bak svaret de har funnet på en oppgave, gjør at elevene er nødt til å tenke over hva de har gjort. Når det blir vanlig for elevene at de skal forklare, vil de underveis tenke og registrere hva de gjør med oppgaven. Når elevene i ettertid forklarer sin løsningsmetode, så har elevene vært nødt til å resonnere over svaret sitt, noe som gjør elevene tryggere på matematikk. Dette vil også kunne føre til at elevene unngår å ende opp med et syn på matematikk som et fag med bare usammenhengende regler og algoritmer (Universitetet i Tromsø, u.å).

Rekonstruering

Boaler (2009) fremhever rekonstruering som et hjelpemiddel for å tilegne seg en dypere forståelse av matematikken. Men hvordan kan du som lærer få elevene til å bruke rekonstruering som et hjelpemiddel? Både si mer, gjenta, tilføye, enig eller uenig og ventetid er fem steg for å aktivisere elevene. Det at elevene faktisk må forklare og argumentere for svaret sitt, fører til at de må rekonstruere sitt eget svar – før de andre elevene som lytter må rekonstruere sitt eget svar gjennom en sammenligning av det som nettopp er sagt. Ved at disse elevene forklarer sin fremgangsmåte, samt argumenterer for den, fører til både en ny rekonstruering av deres eget svar, men også eleven som startet prosessen rekonstruerer sitt eget svar igjen. Dette fører til en evig rekonstruering hvor sluttresultatet er en oppfatning om at matematikken ikke består av bare en måte å tenke på, men utallige måter å tenke på.

Grunnlag for å utvikle aktive elever

For å kunne bruke disse stegene er det viktig å ha et godt grunnlag før man bruker dem. Elevene må blant annet ha et trygt klasseromsmiljø som er åpent for diskusjon, og et miljø der det er lovt å komme med sine forslag, uten å bli hengt ut i friminuttet senere. Denne tryggheten, samt vissheten om diskusjonsregler, er grunnprinsipper for å fostre aktive elever. Det betyr at du som lærer er nødt til å lære elevene både å respektere hverandre, men også lære elevene kjørereglene for diskusjon og argumentasjon i klasserommet (Chapin & O'Connor , 2009). Med andre ord, det er flere tiltak og regler læreren må ta i bruk for å lære elevene å være aktiv i klasseromssamtalen. Til tross for at elevene lærer mer gjennom en aktiv deltakelse i en klasseromssamtale, er det kanskje på grunn av alt som må være på plass for å lykkes, som gjør at det enkleste i en undervisningssituasjon er å benytte seg av IRE-metoden?

Litteraturliste

Boaler, J. (2009). The Elephant in the Classroom: Helping Childre Learn and Love Maths. London: Souvenir Press.

Chapin, S. H., & O'Connor , C. (2009). Classroom Discussions. Using math talk to help students learn. Sausalito: Math Solutions.

Franke, M. L., Kazemi, E., & Battey, D. (2007). Mathematics Teaching and Classroom Practice. In F. K. Jr, Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 225-256). Heidelberg: Springer Berlin.

Ma, L. (2010). Knowing and teaching elementary mathematics: teachers' understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwa: Lawrence Erlbaum Associates.

NCTM. (u.å.). nctm.org. (T. N. Mathematics, Producer) Retrieved Desember 12, 2014, from Reasoning and Proof: http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=26861

Niss, M. (2002). Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriet.

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding: Mathematics Teaching. Warwickshire: University of Warwick.

Spillane, J. P., & Zeuli, J. (1991). Reform and teaching: Exploring patterns of practice in the context of national and state mathematics reforms. Educational Evaluation and Policy Analysis.

Universitetet i Tromsø. (u.å.). Resonnering og argumentasjon i matematikk. Retrieved Desember 12, 2014, from Matematikkdidaktikk - nettbasert studium i matematikk 2: http://matematikkmooc.no/node/7

Utdanningsdirektoratet. (u.å.). Udir. Retrieved Desember 12, 2014, from Læreplan i matematikk fellesfag: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Grunnleggende_ferdigheter/

Utdanningsdirektoratet. (u.å.). Utdanningsdirektoratet. Retrieved Desember 19, 2014, from Åpne dører - klasseledelse i praktisk og variert undervisning: http://www.udir.no/Laringsmiljo/Bedre-laringsmiljo/Klasseledelse/Klasseledelse-har-mange-rom/

Wiliam, D. (2007). Keeping Learning on Track: Classroom Assessment and the Regulation of Learning. In F. K. Jr, Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 1053-1098). Heidelberg: Springer Berlin.