Så lenge skolen har eksistert har jakten etter den gode undervisningen drevet forskere til stadig nye horisonter. I dag finner vi et rikt mangfold av vitenskapelige artikler, bøker og nettsider, som alle legger fram sitt syn for hva de ser på som god undervisning. I et slikt mylder av informasjon kan fort mye oppleves som både utilgjengelig og vanskelig.
Matematikk som engasjerer
Et særlig viktig punkt for den gode undervisningen er en matematikk
som engasjerer. Jo Boaler (2009) omtaler dette i sin forskning. Hun poengterer
at mange barn i dag lærer en matematikk som er lite engasjerende og lite
relatert til den virkelige verden. Fra det forskningen sier om god
undervisning, og til det vi observerer i skolen i dag, er det få ting som kan
relateres til hverandre (Boaler, 2009) .
Instrumentell vs. relasjonell forståelse
Med en instrumentell forståelse tenkte Skemp en forståelse
for ”rules without reasons (Skemp, 1976, s. 2) ”,
en undervisningsform der lærer først presenterer en formel eller
løsningsstrategi, for siden å be elevene løse oppgaver på akkurat samme måte.
Den er regelbundet, og elevene gjør seg ikke videre refleksjoner om hvorfor denne regelen blir riktig.
Typiske eksempler på dette kan vi alle tenke oss til: vi ”låner” for eksempel fra
naboen ved subtraksjon, vi ”snur brøken opp ned og så multipliserer” for
divisjon av brøk, samt ”tar tallet over på den andre siden og endrer bare
fortegn” ved løsning av likninger (Skemp, 1976) .
Både Skemp og Boaler fraråder en ensrettet instrumentell tilnærming. Boaler mener
denne formen for undervisning er ”a strange mutated version of the subject (Boaler, 2009, s. 2) ”. Den gir elevene et feil bilde
av hva matematikk er og brukes til i det virkelige liv.
Kandidatnummer 11 (2014)
Over ser du et forsøk på å illustrere Skemps poeng. Slik
figurene kanskje viser, bygger den instrumentelle forståelsen mest opp om
enkeltstående formler og prosedyrer. Det er ingen koblinger mellom det som skal
læres og tidligere kunnskap. Den relasjonelle forståelsen handler derimot i
større grad om å knytte det en skal lære opp til gammel kunnskap. Den bygger på
en forståelse en har fra før. Dette gir elevene et dypere fundament for matematikken,
de blir selvstendige, og klarer i større grad å resonnere seg fram til
løsninger ettersom de ser sammenhenger i matematikken.
Den instrumentelle og den relasjonelle tilnærmingen kan
betraktes som musikk. Akkurat som notasjonene i musikken er nyttige verktøy for
å skape musikk, er også det instrumentelle i matematikken nødvendig. Samtidig,
dersom elevene aldri får relatere og knytte det de lærer opp mot den reelle
verden blir matematikken kunstig. Det blir som å sette en person til bare å
lese noter uten å spille de. Da blir musikken kjedelig og nytteløs (Boaler, 2009) .
Vi skal nå se en kort film der fokus til lærer
nettopp er relasjonelt. I introduseringen til funksjonslære bygger han undervisningen
opp om den forståelsen elevene har fra før, og bruker det kjente til å relatere
mot det nye. Dette skaper en dypere forståelse og gjør muligens matematikken
mer interessant.
Matematikksenteret
Problemløsning som fundament
For å skape et fokus rundt den relasjonelle forståelsen
løfter mange forskere fram problemløsning
som særlig viktig (Boaler, 2009; Silver, 1997) . Dette er
oppgaver som ikke gir klare retningslinjer for hvordan elevene skal løse et
problem. Det åpner i større grad for en undersøkende tilnærming, representert
av mange potensielle løsningsstrategier. Her må elevene benytte seg av
tidligere kunnskap og gjøre en vurdering av hvilke framgangsmåter som er
hensiktsmessige å bruke.
Et konkret eksempel på dette er fra en time jeg
gjennomførte i 10.klasse. Overskriften var ”Strikkhopp med Barbie”. Som oppgave
fikk elevene utdelt følgende instruksjoner (med noen justeringer):
Kandidatnummer 11 (2014)
Dette er en typisk problemløsningsoppgave. Oppgaven er noe
tilpasset klassens forkunnskaper, så noen ledetråder er gitt for å hjelpe
elevene på veg. En kunne for eksempel sløyfet de to siste punktene under fremgangsmåten
for å skape en enda åpnere kontekst.
I en slik oppgave er elevene avhengig av å bruke tidligere
kunnskap om funksjoner, grafer, koordinatsystemer og målinger for å finne rett
antall strikk som skal til for å gjøre dette hoppet. Dersom elevene arbeider i
grupper, noe oppgaven legger opp til, får elevene også delt sine ideer med
andre og på den måten utnyttet hverandres strategier og forkunnskaper.
Kjersti Wæge har utført dette prosjektet i en
4.klasse. Jeg har valgt ut et lite klipp som påpeker noe viktig ved god
undervisning. Klippet er fra oppsummeringen av prosjektet.
Matematikksenteret
Det Kjersti gjør er noe som underbygges i forskningen. Ikke
nok med at de oppsummerer sammen dagens undervisning, men elevene får også selv komme med erfaringer og refleksjoner til det
de har lært gjennom dagen. Det er den interaktive samtalen mellom lærer og
elever som settes i fokus. Dette skal vi komme tilbake til om litt.
Dersom vi skal omtale problemløsningsoppgaver
som fenomen sier E.A. Silver (1997) at dette fremmer den kreative utviklingen
hos elevene. Dette fokus mot problemløsning er i sin natur nært knyttet til det
genuine i matematikken (Silver, 1997) , det gjør den virkelighetsnær og
virker engasjerende, akkurat slik strikkhopp med Barbie tilsynelatende virket
på elevene. Dersom lærere kan rette et fokus mot dette, forhindrer en kanskje
mange frustrerte elever som ikke ser poenget med matematikken. Boaler (2009) skriver
at dersom lærer klarer å skape en nysgjerrighet i elevene ved å sette de opp
mot problemer som engasjerer, samt utfordrer elevenes tidligere kunnskaper og
hjelper til med stimulerende spørsmål, kan en form for uavhengig tenkning
skapes (Boaler, 2009) .
Den interaktive samtalen
Vi skal nå ta problemløsningsoppgaven som fenomen med oss
videre og se på hva forskning sier om dette i forhold til den interaktive
samtalen i klasserommet. Det er viktig å poengtere at det jeg har belyst til
nå, om verdien av den relasjonelle tilnærmingen, på mange måter går parallelt
med den konstruktive samtalen i klasserommet, om ikke vi kan si fungerer som en
forutsetning for en god, faglig samtale. For å skape refleksjon rundt et
matematisk problem i klassen må elevene nødvendigvis også gis rom, og ikke
minst tid, til å reflektere.
Alle elever er sosiale vesener og samhandler med andre.
Læring betraktes av mange forskere som en sosial interaksjon der hver enkelt
deler med andre av sine erfaringer. Franke, Kazemi og Battey (2007) skriver at
læring handler ikke om å samle informasjon, men heller å skape forståelse
gjennom samhandling med andre. De poengterer også hvordan en lærers
praktisering av prosedyrer og regelbundethet ikke fremmer forståelse for
elevene. I stedet bør lærer prioritere en undervisning der oppklarende spørsmål
blir stilt for å bygge videre på elevenes resonnementer. ”When students are
required to describe their strategies in detail and why they work, they develop
understanding (Franke, Kazemi, & Battey, 2007, s. 229) .
I eksemplet med prosjektet strikkhopp med Barbie skapte lærer et klima der alle deltok og
samhandlet gjennom kommunikasjon. Lærer delte elevene inn to og to, der de
sammen skulle gjøre undersøkelser og beregne seg fram til riktig antall strikk.
I etterkant av prosjektet samlet lærer og elever sammen trådene, der
flere av gruppene fikk fortelle om sin framgangsmåte til problemet. På den
måten fikk klassen mange ulike tilnærminger til den kunnskapen som sto i fokus
denne dagen.
I en søkning etter den gode undervisningen reflekterer
Franke, Kazemi og Battey over tre sentrale aspekter i klasseromspraksisen.
Dette handler om det å skape en støttende setting for samtale og læring (1),
det å utarbeide normer som fremmer engasjement (2), samt det å utvikle
relasjoner med elevene som støtter muligheten for deltakelse i klasserommet (3)
(Franke, Kazemi, & Battey, 2007) .
Det første punktet handler mye om det vi har omtalt
tidligere, - lærer må legge til rette for at undervisningen inneholder mye
samtale. I forskning omtales ofte et klassisk mønster i undervisningen som
mange fraråder. Dette kalles IRE-mønsteret (Initiated-Response-Evaulation). I
korte trekk handler dette om at lærer stiller et konkret spørsmål (I), en elev
responderer (R) og lærer vurderer svaret (E). En slik form for undervisning
hemmer i stor grad elevenes læring. Den interaktive samtalen brytes raskt,
forskjellige løsningsstrategier blir ikke satt pris på, og kreativiteten
forhindres ettersom elevene forsøker å finne ut hva lærer mener er det rette svaret.
Et bedre alternativ er i større grad å rette fokuset mot
hvordan samtalen kan skape matematiske argument slik at elevene får høre ulike
forklaringer til problemet, samt å tilpasse elevene til hverandre og innholdet
så de utvikler en mer avansert tankegang (Franke, Kazemi, & Battey, 2007) .
Et konkret eksempel på en slik tilnærming kan
oppgaven under vise. I utforskingen av funksjoners variabler kan elevene bruke
GeoGebra som verktøy, et digitalt program beregnet for arbeid med grafer og funksjoner. Her kan elevene se sammenhenger i et koordinatsystem når variablene a, b og c varierer i
uttrykket f(x) = ax^2 + bx + c, i stedet for rent instrumentelt å lære hva de ulike variabelene gjør med grafen. Med glidere for a, b, og c er det lett å se hva som skjer med grafen til uttrykket. Se eksemplene under.
Kandidatnummer 11 (2014)
Etter elevene har utforsket dette sammen, kan
lærer i etterkant samle trådene, akkurat som i filmen over, og trekke fram
ulike ideer og tilnærminger elevene har gjort underveis på
gruppene.
Det andre punktet handler om å utvikle, sammen med klassen, gode normer for hvordan en skal delta i undervisningen. Her kan vi referere til boken Adding it Up (National Research Council, 2002) som trekker
fram fire spesielle normer som er særlig viktig å innføre: fokus på mangfoldet
av ideer og metoder, delekultur blant elevene, se verdien av andres feil
ettersom en lærer av det også, samt reforhandlinger om hvem som skal få
autoritet om hva som er riktig eller galt. Alle disse fire normene skaper
”opportunities for students to share their thinking, engage in discussion
around ideas, value and learn different ways of thinking about problems, and
build mathematical arguments (Franke, Kazemi, & Battey, 2007, s. 239) .
Som siste punkt å nevne er også lærers
relasjoner til elevene viktig. Mye av den gode undervisningen handler om å
kjenne sine elever og hva som er med på å forme deres identitet til faget.
Identitet er et komplekst begrep og påvirkes av mange momenter i en elevs
hverdag, både i forhold til hjemmet, etnisitet, nærmiljø, klassekamerater og
fritidsaktiviteter. Forskning viser at det å bygge relasjoner til elevene på
siden av det spesifikke i matematikken er essensielt for å skape forståelse (Franke, Kazemi, & Battey, 2007) . For eksempel
vil trygghet både i faget, men også til medelever og lærer, påvirke hvordan en
elev ønsker å delta i en diskusjon i klassen. Det er derfor avgjørende at lærer
kjenner til dette og kan hjelpe sine elever på de punktene der de virkelig
behøver assistanse.
Oppsummering
Det er gjort, som vi har vært inne på, svært mye forskning
opp gjennom tiden på hva som kjennetegner den gode undervisningen. Flerfoldige
røster har gjort seg gjeldende i utviklingen av denne kunnskapen, og i mylderet
av all denne dokumentasjonen finnes det altså mange likheter.
Det er bred enighet om at et økt fokus på den
interaktive samtalen i klasserommet, der lærer inkluderer elevene i en felles
diskusjon om et emne eller problem, er å foretrekke framfor en mer instrumentell tilnærming. Det anbefales fra flere hold å trekke inn i mye større grad
de mer engasjerende problemløsningsoppgavene for å skape en undring rundt
problemene som og gjør de virkelighetsnære. Det er viktig at matematikken
oppleves relevant og relatert til hverdagen, noe som er selve essensen i faget.
Den virkelige matematikken handler ikke utelukkende om formler og
begreper, slik mange tror, men tar også for seg, kanskje i mye større grad,
hverdagsproblemer og naturfenomener vi finner rundt oss. Det er nettopp dette
som gjør matematikken interessant og meningsfylt!
Kilder
·
Boaler, J.
(2009). The elephant in the classroom. Helping children learn and love
maths. London: Suvenir Press.
·
Franke, M., Kazemi, E., & Battey, D. (2007). Mathematics
teaching and classroom practice. I F. Lester (Red.), Second handbook of
research on mathematics teaching and learning. (s. 225-256). Information
Age Publishing Inc.
·
Matematikksenteret. (u.d.). Det store strikkhoppet.
Hentet Desember 10, 2014 fra Skole i praksis:
http://www.skoleipraksis.no/matematikk-1-4/filmar/det-store-strikkhoppet/
·
Matematikksenteret. (u.d.). Introduksjon til funksjoner.
Hentet Desember 10, 2014 fra Skole i praksis:
http://www.skoleipraksis.no/matematikk-8-10/filmer/introduksjon-til-funksjoner/
·
National Research Council. (2002). Adding it up: Helping
children learn mathematics. J. Kilpatrick, J. Swafford, & B. Findell (Eds.). Mathematics learning study committee, Center for Education, Division of behavioral and social sciences and education. Washington, DC: National Academy Press. Lest i: Franke, M., Kazemi, E., & Battey, D. (2007). Mathematics teaching and classroom practice. I F. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. (s. 225-256). Information Age Publishing Inc.
·
Silver, E. (1997, juni 1). Fostering creativity through
instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. ZDM.
The international journal of mathematics education , s. 75-80.
·
Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and
instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77 , s. 20-26. Funnet i:
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar