Til matematikklærere - Husk at dere skal pensjoneres i en verden som elevene deres styrer!

Når vi forteller at vi utdanner oss til å bli matematikklærere får vi som regel en av de to alternativene på bildet til høyre. I 2005 ble det foretatt en undersøkelse blant voksne mennesker i USA (AP-AOL News, 2005), som viste at nesten 40 % hatet matematikk på skolen. Det er skremmende med et slikt resultat i en verden hvor teknologi og teknologiske fremskritt har en så stor plass.

Norge er et høyteknologisk land som har og vil ha behov for arbeidstakere med høy matematisk kompetanse. Instrumentell matematikkforståelse er dermed ikke tilstrekkelig, arbeidstakerne må evne å matematisere virkelige problemer og kunne modellere (Lesh & Zawojewski, 2007). Med instrumentell forståelse mener vi at elevene kun vet hvordan de skal løse oppgavene, de kan ikke forklare hvorfor oppgavene kan løses slik. 

Arbeidsmarkedet vil ha behov for stadig flere mennesker som evner å tenke kritisk og kreativt, og ser ulike løsninger på et problem. Av fremtidens arbeidstakere kreves det med andre ord mer enn å kunne sette tall inn i en formel. Svarer matematikkundervisningen vi har i dag til samfunnets behov? Utdanner vi kritiske og kreative problemløsere? Spør deg selv om du er trygg på at dine elever skal være de som konstruerer bruene du skal kjøre over i fremtiden, og regne ut korrekte medisindoser når du blir syk. Skaper du selvstendige problemløsere som evner å ta hensyn til ulike variabler og kontekster når de løser oppgaver?

Hvordan undervises matematikk i dag?

8. desember 2014 la Ekspertgruppa for realfagene frem sin rapport, REALFAG Relevante-Engasjerende-Attraktive-Lærerike. Denne rapporten maler blant annet et bilde av den typiske matematikktimen i norsk grunnskole. Denne består av at læreren gjennomgår eksempler på tavla før elevene løser oppgaver fra læreboka. Flere studier peker på det samme. I PISA+-studien fant man at “97 % av den effektive tiden i matematikktimene gikk med til helklasseundervisning og arbeid med oppgaver (Bergem, 2009).». Norske matematikklasserom blir karakterisert som «monotone, og med liten variasjonsbredde i læringsaktiviteter» (Bergem, 2009; Streitlien, 2006). Alle klasser består av et mangfold av elever,  med ulik bakgrunn og matematisk nivå. Hvilken undervisningsmetode som fører til mest læring hos den enkelte elev er dermed svært individuelt . Ved å ha en monoton og lite variert matematikkundervisning er det mange elever lærerne ikke treffer og som dermed føler at matematikk ikke er noe for dem.

Måten faget blir undervist på kan altså ha stor innvirkning på hvordan elevene oppfatter faget. Men hva er egentlig god matematikkundervisning? Det er publisert store mengder forskning på dette området, både på hva som kan ha negativ og positiv effekt på elevenes læring. I rapporten fra Ekspertgruppa for realfag argumenterer de for at undervisningen i norske klasserom bør ha økt fokus på muntlige aktiviteter og fremme elevenes evne til kritisk tenkning gjennom utforskende og varierte arbeidsmåter. Vi ønsker å spille videre på dette ved å konkretisere forskning gjort på god matematikkundervisning. I dette innlegget vil vi gi et eksempel på hvordan en vanlig tekstoppgave fra en lærebok i matematikk kan ligge til grunn for en god matematikktime som fremmer kognitivt aktive elever og muntlig aktivitet.

Flere studier har vist at mange elever løser tekstoppgaver på følgende måte: De ser på oppgaven og bestemmer seg raskt hvilken regneoperasjon de skal bruke ut fra tallene som er gitt i oppgaven. Deretter utfører de denne regneoperasjonen uten å tenke over alternative løsninger (Verschaffel, Greer & De Corte, 2007; Schoenfeld, 1992; Verschaffel & De Corte, 1997). Mange matematikkdidaktikere har argumentert for at måten tekstoppgaver er fremstilt på i lærebøker er kunstig og stereotypisk, og at måten tekstoppgaver blir brukt i et tradisjonelt matematikklasserom har ødeleggende effekt for barns forståelse og oppfatning av hva matematisk modellering faktisk er.

Historisk sett er tanken bak tekstoppgaver at de skal bidra til at elevene kan bruke en allerede lært formell matematikkunnskap i situasjoner knyttet til den virkelige verden (Verschaffel, Greer & De Corte, 2007). Men flere observasjoner har konkludert med at elever svarer på tekstoppgaver uten å ta konteksten i betraktning, og at de heller ikke tenker over om spørsmålet eller svaret gir mening. (Verschaffel, Greer & De Corte, 2007).

Hva sier forskning god matematikkundervisning?

Det er dessverre ikke et enkelt svar på dette spørsmålet. Skolehverdagen er uforutsigbar og det er vanskelig å lage en oppskrift eller retningslinjer som alle matematikklærere skal følge (Franke, Kazemi & Battey, 2007). Allikevel kan forskning fortelle oss mye om viktige faktorer som bidrar til gode læringssituasjoner i matematikk. En lærer er ansvarlig for å skape trygge rammer for læringssituasjonen, og å bygge opp en relasjon til elevene. Det handler blant annet om å vite hvor elevene kommer fra, deres historie og hva de er opptatt av. En annen viktig faktor er at elevene må få mulighet til å dele sin matematiske tenkning i klasserommet, og ikke minst få diskutere ulike fremgangsmåter for å løse problemer (Franke, Kazemi & Battey, 2007).

I Jo Boalers bok « The elephant in the classroom» påpeker hun at det er stor forskjell på hva man vet om god undervisning og det som faktisk skjer i klasserommene. I klasserommene generelt undervises det i et smalt fag som ikke representerer hva matematikk egentlig er. Boaler påstår at når virkelig matematikk blir undervist, altså hele faget som involverer problemløsning, skape ideer, representere, utforske, diskutere og jobbe på ulike måter, så er det flere som lykkes i faget (Boaler, 2009).

Boaler (2009) viser blant annet til en studie hun har gjennomført med to elevgrupper i England. Den ene elevgruppen hadde mottatt tradisjonell matematikkundervisning, mens den andre hadde undervisning som baserte seg på problemløsningsoppgaver. På skolen oppnådde den siste elevgruppen de beste resultatene. Også da Boaler intervjuet de samme elevene i voksen alder ga elevgruppene ulike svar. Selv om alle elevene mente at matematikk var noe de hadde bruk for i dagliglivet, kom det frem av intervjuene at elevene som hadde fått tradisjonell undervisning mente de aldri brukte matematikken de lærte i klasserommet utenfor skolen.  Den andre elevgruppen, som hadde lært matematikk gjennom problemløsningsoppgaver, mente at de i stor grad anvendte matematikken de lærte på skolen både i jobb og dagliglivet.

I lærebøker i matematikk er som regel all informasjon som trengs for å løse tekstoppgavene gitt. Elevenes oppgave blir da å plotte tall inn i en formel. Skaper dette kritiske og kreative problemløsere som morgendagens samfunn trenger? For at elevene skal utvikle et høyt faglig nivå i matematikk, må klasserommet være et sted hvor det kreves av alle elevene å være kognitivt deltakende med den matematikken de kan og lærer. Dette ser ut til å være selve kjennetegnet for god matematikkundervisning i flere land (William, 2007; Boaler & Humphreys, 2005).

  Fra vanlig tekstoppgave til en engasjerende problemløsningsoppgave

Inspirasjon til denne oppgaven har vi fra den amerikanske matematikklæreren Dan Meyers foredrag: Math class needs a makeover. Hans oppgave tar utgangspunk i en typisk tekstoppgave i en amerikansk lærebok i matematikk, der både figur, mål og de stegene elevene skal ta for å undersøke volumet av vanntanken er gitt. Elevene får servert masse informasjon og stilles flere konkrete spørsmål. Meyers forslag for å forbedre matematikkundervisningen er å fjerne all informasjon og unødvendige spørsmål, slik at oppgaven utfordrer elevenes problemløsningskompetanse og matematisk resoneringsevne. Oppgaven blir da: Hvor lang tid vil det ta å fylle vanntanken?

 

Nå må elevene selv finne ut hva de trenger for å løse oppgaven, og hvilke faktorer som spiller inn på det svaret de gir. For å gjøre oppgaven enda mer virkelighetsnær kan man vise bilder og video av vanntanken til elevene. Filmen viser en vanntank som blir fylt med vann av en slange. Dette tar lang tid, og er ensformig å se på. Alle elevene kommer antakeligvis på et eller annet tidspunkt til å tenke: Hvor lang tid tar det egentlig å fylle tanken med vann? På den måten vekkes elevenes nysgjerrighet for å finne ut av dette spørsmålet. Og de blir interessert i å finne svar.

Målet med oppgaven er at elevene skal utforske volum gjennom aktiv læring. For å kunne løse oppgaven når den er gitt på denne måten, blir de nødt til å være kognitivt deltagende. I tillegg oppfordres det til å snakke matematikk. Ved å formulere oppgaven på denne måten åpner en også for at flere elever kan være deltakende og bidra med sine erfaringer. Alle elevene har fylt noe med vann og har et forhold til det. Å være god på å plotte tall inn i en formel er ikke like viktig her. Ved at elevene stiller likt kan det åpne for en lavere terskel for å gjette svar og diskutere seg frem til en løsning. Det er ikke nødvendigvis de som anses som faglig sterke i matematikk som styrer diskusjonen.

Ved å gi oppgaven på denne måten går elevene fra en passiv rolle hvor de får all informasjon som kreves for å løse oppgaven, til en aktiv rolle hvor de må diskutere og komme frem til hva de trenger av informasjon for å løse oppgaven. De må selv avgjøre hvilke faktorer som har betydning. Har høyden, bredden, eller fargen på tanken noe å  si for hvor lang tid det tar å fylle den? La elevene gjette, diskutere og gi de tid til å selv komme frem til hvilken informasjon de trenger. En slik oppgave kan være en god måte å gi elevene en forståelse for volumbegrepet.

Denne oppgaven er også et godt utgangspunkt for kommunikasjon både i grupper og i full klasse. Hvordan skal læreren styre og skape en produktiv og faglig diskusjon? Det viktigste verktøyet lærere har er spørsmålene til elevene. Ulike spørsmål krever forskjellig grad av matematisk kompetanse fra elevene. Fra de enkle ja/nei-spørsmålene til de spørsmålene som utfordrer elevene på et kognitivt plan. (Chapin, O’Connor, Anderson, 2009). Et slikt spørsmål kan være: Hvorfor har vanntrykket betydning på hvor lang tid det tar å fylle tanken? Når elever snakker sammen om hvordan de løser tekstoppgaver har læreren mulighet til å lytte til elevene og vurdere deres forståelse. Ut fra dette får læreren et bilde av hva elevene kan, oppdager eventuelle misoppfatninger og får et bedre grunnlag til å forstå hva elevene trenger å øve mer på. Dette hjelper læreren til å vurdere elevene underveis og til å vite hvilke oppgaver og temaer en bør legge opp til neste time (Chapin, O’Connor, Anderson, 2009). 

Problem posing

Når mesteparten av oppgaveteksten er fjernet må elevene selv utvikle deler av problemet. En annen måte å undervise på er å la elevene selv formulere et problem, såkalt problem posing. Elevene kan for eksempel få i oppgave å finne noe i skolegården, hjemme eller i klasserommet og formulere en oppgave til medelevene ut fra det. Et eksempel kan være: Hvor mange pulter får en plass til i klasserommet? I følge Wiliam (2007) er det klare funn på at elevene får økt læringsutbytte gjennom å utvikle sine egne spørsmål. Vi har selv erfart fra praksisfeltet at mange elever uttrykker at de synes det er spennende å formulere egne oppgaver. De sier det utfordrer dem til å tenke på en annen måte.                              

Oppsummering

Verden trenger mennesker som er kompetente i matematikk. Det er estimert at 60 % av alle nye jobber i dette århundret vil kreve ferdigheter som bare 20 % av den nåværende arbeidsstyrken har (Boaler, 2009). For å øke elevenes kompetanse i matematikk, må undervisningen knyttes nærmere den virkelige verden. Forskning viser at dette fører til at elevene ser nytteverdien av matematikkfaget i langt større grad enn med tradisjonell undervisning.  I Norge rapporteres det at matematikkundervisningen er lite variert og i stor grad består av undervisning i hel klasse og elever som jobber individuelt med oppgaver. Dette er ikke veien å gå dersom en ønsker å utdanne elevene til å bli kritiske og kreative problemløsere.

I dette innlegget har vi brukt en tekstoppgave for å illustrere hvordan man kan bygge opp en undervisningsøkt i matematikk som utfordrer elevenes resonnering og matematiske forståelse. I tillegg er det et eksempel på hvordan en helt vanlig tekstoppgave kan omformes til en virkelighetsnær oppgave, som skaper nysgjerrighet og diskusjon blant elevene.

Så hva er god matematikkundervisning? I våre øyne er dette undervisning som er med på å utvikle elevenes matematiske tenkning. For å få til det er det ikke nok å undervise på en monoton og svarfokusert måte. Vi mener fokuset bør flyttes fra svaret på oppgavene til selve løsningsprosessen. Med løsningsprosessen mener vi ikke å plotte tall i en formel, men å løse oppgaver som krever at elevene må tenke kritisk og resonnere matematisk. I følge flere forskere må klasserommet være et sted hvor det kreves av alle elevene å være kognitivt deltakende med den matematikken de kan og lærer for at de skal kunne utvikle seg på et faglig nivå i matematikk (William, 2007; Boaler & Humphreys, 2005).

Til slutt vil vi påpeke at selv om det er gjort mye forskning på god undervisning er det viktig å huske på det kulturelle aspektet også. Forskning av blant annet Shimizu og Williams (2013) viser til funn som indikerer at dersom måten det undervises på er konsistent med de historiske og kulturelle praksisene for den som lærer, kan det gi bedre resultater for elevenes læringsutbytte i matematikk. Det vil si at det i Norge kan gi større læringsutbytte for elevene å fortsette å undervise slik en alltid har gjort, istedenfor å innføre undervisningsmetoder som har gitt gode resultater i andre land. Det betyr ikke at matematikkundervisningen ikke lar seg endre, men det tar tid å forandre den kulturelle praksisen, og elevenes og samfunnets oppfatning av hva matematikk er. Det å være bevisst hvordan en presenterer tekstoppgaver for elevene kan være det første lille skrittet på vei til en slik endring. 

Så om du er lærerstudent, lærer eller lærerutdanner - utfordre elevene dine! Tenk over om din matematikkundervisning svarer til samfunnets behov. Vær med å skape morgendagens kritiske og kreative problemløsere. For husk at du skal pensjoneres i en verden som elevene dine styrer!  



Litteraturliste:

AP-AOL News. (2005, August 28.). Math: The most unpopular school subject. Hentet Desember 15, 2014 fra http://mathforum.org/kb/thread.jspa?threadID=1204282&tstart=210

Bergem, O. K. (2009). Individuelle versus kollektive arbeidsformer. En drøfting av aktuelle

utfordringer i matematikkundervisningen i grunnskolen. (PhD), Universitetet i Oslo, Oslo

Boaler, J. (2009). The Elephant in the Classroom. Helping Children Learn and Love Maths. London: Souvenir Press.

Chapon, O. A. (2009). Classroom Discussions. Using math talk to help students learn.

Ekspertgruppa for realfagene. (2014, Desember 8.). REALFAG. Relevante - Engasjerende - Attraktive - Lærerike. Hentet Desember 15., 2014 fra www.regjeringen.no: https://www.regjeringen.no/globalassets/upload/kd/vedlegg/rapporter/rapport_fra_ekspertgruppa_for_realfagene.pdf

Franke, M. L., Kazemi, E., & Battey, D. (2007). Mathematics Teaching and Classroom Practice. I F. K. Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning : a project of the National Council of Teachers of Mathematics (ss. 225-256). Charlotte, NC: Information Age Pub.

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. I F. K. Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning : a project of the National Council of Teachers of Mathematics (ss. 763-804). Charlotte, NC: Information Age Pub.

Meyer, D. (2010, Mars). Math class needs a makeover. Hentet Desember 15, 2014 fra www.TED.com: http://www.ted.com/talks/dan_meyer_math_curriculum_makeover

Shimizu, Y., & Williams, G. (2013). Studying learners in intercultural contexts.  Clemets, M, A., Bishop, A, J., Keitel, C., Kilpatrick, J., & Leung, F, K, S,. Third international handbook of mathematics. Volum 27. (ss. 145-167). Springer

Streitlien, Å. (2006). Rom for deltakelse: En studie av interaksjon og kommunikasjon i

matematikkundervisningen. (Dr. Polit.), Universitetet i Oslo, Oslo.

Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2007). Whole Number Concepts and Operations. I F. K. Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning : a project of the National Council of Teachers of Mathematics (ss. 557-628). Charlotte, NC : Information Age Pub.

William, D. (2007). Keeping Learning On Track. Assessment and the Regulation of Learning. I F. K. Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning : a project of the National Council of Teachers of Mathematics (ss. 1053-1098). Charlotte, NC: Information Age Pub.