Tradisjonell matematikkundervisning har gått ut på dato - hvorfor undervises det fortsatt slik?

Figur A.

Ifølge Lortie¹ er det vanlig at lærere underviser slik de selv ble undervist da de var elever. Gjennom egen skolegang dannet de seg en oppfatning av hvordan en elev og hvordan en lærer skulle oppføre seg, og hva disse ulike rollene innebar i de ulike skolefagene. Dette er noe vi også selv, gjennom vår egen skoletid, har merket oss. Gjennom både barneskole, ungdomsskole, videregående, høyere utdanning – og ikke minst praksis i lærerutdanningen – har vi ikke sett noen revolusjonerende, nye læringsmetoder og mønstre i klasserommet.

I det tradisjonelle matematikklasserommet, har tavleundervisning der læreren står og snakker en halvtimes tid mens elevene noterer ned i bøkene, stått sentralt. Etter at læreren har vist sine eksempler, får elevene prøve å løse lignende oppgaver, der de selv bruker den samme metoden som læreren benyttet seg av. Dette er noe alle har blitt utsatt for en eller annen gang i løpet av egen skolegang. Ikke minst er det et eksempel på å undervise tradisjonelt heller enn progressivt, eller nytenkende, og stripper matematikk ned til en mengde regler og framgangsmåter heller enn forståelse og sammenhenger². Det er også vanlig at spørsmålsstillingen i klasserommet foregår ved at læreren stiller en elev et spørsmål, får svar fra denne eleven, for så å gi tilbakemelding på hvorvidt dette svaret stemte eller ikke. Dette er den såkalte IRE-metoden; Initiation – Response – Evaluation. Dette bygger på den tradisjonelle tankegangen om at læreren skal undervise og eleven skal undervises – eller lære, som man jo gjerne håper på å oppnå³. Elevene får hverken snakke, tenke eller delta aktivt i egen matematikklæring. Generelt baserer disse tradisjonelle undervisningsmetodene seg ofte på eleven som en passiv tilhører². Et resultat av dette kan også bli at læreren, nivåmessig, retter seg mot midtsjiktet i klassen, og altså ikke oppnår en særlig stor grad av tilpasset opplæring.

Hva lærer elevene egentlig av tradisjonell undervisning?

Som lærer kan man ikke uten videre stå foran klassen sin og forvente at elevene skal forstå det du sier uten at de egentlig får engasjere seg i det selv, og snakke og tenke noe dypere omkring det. I disse tilfellene kan man i så fall ikke forvente at elevene skal oppnå noe mer enn en instrumentell forståelse av det som undervises – om de får det med seg i det hele tatt. Instrumentell forståelse er det Skemp⁴ betegner som «rules without reasons». Altså bare det å kunne huske og gjøre, uten å egentlig vite hvorfor og sammenhengen bak. Det er altså ikke like mye forståelse, i ordets rette forstand, som ligger bak dette begrepet, som det som legges i relasjonell forståelse – hvor man altså vet både hva man skal gjøre og hvorfor, i tillegg til det som ligger bak. Det kan trekkes paralleller fra instrumentell og relasjonell forståelse til det Lithner⁵ henholdsvis kaller imitativ og kreativ løsning – altså løsninger der du etterligner og husker, eller der du bruker kunnskap i nye situasjoner. Ikke minst ser man at deduktiv og induktiv metode passer inn i disse to retningene. I den deduktive metoden går man fra en bestemt framgangsmåte eller regel, til øving på spesifikke ting gjennom for eksempel oppgaveløsing, noe som lett kan føre til at elevene får en instrumentell forståelse. I den induktive metoden går man fra en bestemt øvelse eller problemløsing til å lære seg detaljene, generalisere og se sammenhengene, som da vil kunne være mer kreativt, motiverende og hjelpe elevene til en relasjonell forståelse.

Måten en lærer velger å undervise på, kan bunne ut fra forskjellige ting. Det kan for eksempel komme av kunnskapsnivå, kreativitet og ikke minst hvilke oppfatninger – eller beliefs, som Philipp⁶ skriver om – man har. Oppfatninger er i stor grad bakgrunnen for alt man som lærer velger å bruke tid på, og gjøre. Det påvirker hva læreren forventer at elevene skal forstå, og videre også hva og hvordan man underviser. I tillegg vises det til et eksempel på en lærer som mener at memorering og korrekt utførelse av standardalgoritmer er det samme som å ha forstått. Hvor har denne læreren sin instrumentelle forståelse ifra? Vil hun viderebringe det til sine egne elever?

Figur B. Hvis du bare har en instrumentell forståelse, så vil dette kunne begrense dine muligheter til å løse nye problemer.

Er det et problem at elevene lærer instrumentelt?

Skemp⁴ mente i utgangspunktet at instrumentell forståelse ikke kunne kalles forståelse i det hele tatt, men siden det er snakk om å kunne inneha og bruke en regel, vil det til en viss grad være snakk om forståelse likevel. Denne forståelsen er svært begrenset i og med at den ikke kan brukes utenfor den gitte konteksten. I The Elephant in the Classroom² fortelles det om fortvilte elever som trodde de skjønte det som ble undervist i tradisjonell matematikkundervisning, men der det ved tester viste seg ikke å stemme. Dette viser bare at det er stor forskjell mellom å kunne se noe som tilsynelatende gir mening, og forstå det, og på den andre siden å faktisk forstå det godt nok til å kunne bruke det etter en viss periode og i en annen situasjon. I boka Knowing and Teaching Elementary Mathematics⁷ blir det fortalt om amerikanske lærere som ikke kan standardalgoritmene for ulike utregninger – fordi de ikke husker dem! Det er allikevel disse de prøver å lære bort til elevene, fordi de ikke kan andre, uformelle, måter å gjøre det på selv. Mange har selv blitt lært på en instrumentell måte og underviser dermed deretter.

Figur C. Filmen viser eksempler på undervisning som kan føre til instrumentell og relasjonell forståelse.

De oppfatningene en har som lærer, avgjør hvilket verdigrunnlag man legger for sin undervisning. Oppfatninger er ikke nødvendigvis helt enkle å endre, men det å være klar over og reflektere over hvilke oppfatninger en faktisk sitter inne med, er ifølge Philipp⁶ et av de mest effektive utgangspunktene for endring av atferd – og altså den undervisningen man gir. Videre kan dette også påvirke hvilke oppfatninger elevene får av faget, og ikke minst hvilke følelser og holdninger dette bunner ut ifra – såkalt affekt. Mange elever ender opp både som uinteresserte og traumatiserte av den matematikkundervisningen de får². Vil du være en lærer som bare underviser elevene dine slik du selv ble undervist? Er det i så fall den beste tilpassa opplæringa du kan gi dem? Vil du at elevene dine skal lære fort, men kanskje ikke huske det de skal lenger enn til neste prøve?

Synes du det er viktig at elevene oppnår en dypere form for læring, slik at de faktisk husker det de lærer lengst mulig?

Den måten man velger å undervise på, og de metodene man velger å vise til elevene, påvirker hvilke kompetanser og ferdigheter elevene får – for eksempel Kilpatrick, Swafford og Findells Mathematical Proficiency⁸. Dette er fem tråder av ulike aspekter ved matematikkferdigheter som flettes sammen til en kompleks helhet. Disse består av Conceptual understanding, Procedural fluency, Strategic competence, Adaptive reasoning og Productive disposition. For å være fullt og helt kompetent i matematikk, må man ifølge Kilpatrick et al. ha alle disse. Er det noe den tradisjonelle matematikkundervisningen evner å gi elevene?

Figur D. The Five Strands of Mathematical Proficiency.

Conceptual understanding handler om det å kunne mer enn bare isolerte fakta og metoder⁸. Man må altså forstå både konsepter, utregninger og forholdene dem imellom, noe som tilsvarer det Skemp⁴ kaller relasjonelle forståelse. Procedural fluency vil si at man kan velge riktige metoder for utregning og bruke dem på en korrekt og effektiv måte⁸. Hvis ferdigheter læres uten forståelse, altså instrumentelt, så læres de som isolerte deler av kunnskap⁹. Denne kunnskapen blir derfor svært vanskelig å bruke i andre situasjoner. Denne tråden kan altså høres ut som den bygger opp om instrumentell forståelse, men fordi eleven skal vise en viss grad av fleksibilitet og effektivitet, og kunne velge passende metode, har den også en relasjonell dimensjon⁴. Strategic competence er evnen til å formulere, representere og løse matematiske problemer⁸. Hvis det er snakk om rutineoppgaver som eleven har arbeidet med tidligere, og har lært en spesiell metode for å løse, så vil det ikke være behov for mer enn en instrumentell forståelse. Er det derimot nye oppgaver, som problemløsningsoppgaver, eller nye situasjoner eleven har foran seg, så må det ligge relasjonell forståelse til bunn for å inneha dette punktet. Adaptive reasoning handler om det å kunne tenke logisk, reflektere og forklare eller bevise⁸. Dette punktet handler i aller høyeste grad om relasjonell forståelse, og er kanskje det punktet tradisjonell matematikkundervisning i minst grad dekker. Productive disposition handler om å se mening i matematikken, og hvilken nytte den kan ha. Dette henger sammen med hvilke holdninger og oppfatninger eleven har om matematikk, og hvor utholdende og flink en anser seg for å være⁸. Har man en instrumentell forståelse, ser man kanskje ikke denne verdien og gleden i matematikken.

Vi ser altså at for å oppfylle Kilpatrick et al.⁸ sin Mathematical Proficiency i sin helhet, trenger man noe mer enn bare den instrumentelle forståelsen som matematikkundervisningen tradisjonelt har gitt. Ved å undervise for relasjonell forståelse, vil en klare å dekke alle de aspekter ved matematikk som elevene bør kunne. De vil i større grad lære matematikk som de kan ta med seg videre i livet, og se nytten av også etter endt skolegang.

Hvilke metoder kan man som lærer bruke i sin undervisning for å legge til rette for relasjonell forståelse?

I hovedrapporten fra PISA¹⁰ vises det til Klettes (2013) fire dimensjoner for god undervisning. Disse er klare læringsmål, relevante kognitive utfordringer, kvaliteten på klassesamtalene og et støttende klima. Vi vil her særlig trekke frem samtaler i klassen og det kognitive som inngår der, som eksempler for god undervisning som fører til en relasjonell forståelse. Den første endringen man kan gjøre, er å la elevene være mer delaktig i undervisningen og i sin egen læring. Det er en betydelig forskjell mellom det å lytte til læreren som prater om matematikk, og det å faktisk selv ha utarbeidet en god nok forståelse til å kunne formidle det til andre. Det å prate om matematikk gjør at man får fram dypere tanker om temaet. I stedet for at det blir en mengde meningsløse og innøvde framgangsmåter og regler, så kan de etter hvert oppdage sammenhenger i matematikken. Det å resonnere og bevise tankegangen sin står sentralt i matematikken, og er noe som er svært vanskelig å utføre ordentlig uten å snakke^2;9. Vi har selv sett hvor tett det å prate om noe henger sammen med det å faktisk ha forstått det. Det første kommer ikke uten det andre.  

Også i boka Classroom Discussions⁹ blir det tatt opp viktigheten av å la elevene formulere og kommunisere sine tanker og ideer. Her argumenteres det for at elevene oppnår en dypere og mer tydelig forståelse gjennom diskusjon omkring matematiske konsepter, løsningsmetoder og problemløsning, enn de ville fått gjennom passiv deltagelse. Ved å la elevene ta del i den matematiske samtalen, får de et bredere og mer allsidig spekter av kommunikasjon, med både mer å observere, lytte til og tenke på. De blir altså mer aktive deltakere i egen opplæring, og vil slik lære på en bedre og mer variert måte. Hvis slike klasseromsdiskusjoner foregår på riktig måte, vil dette være med på å bygge opp elevenes selvtillit og gjøre dem tryggere i matematikken⁹. Tradisjonelt har matematikk hatt en slags særstilling blant fagene, som det mest forhatte og vanskelige. Dette har i stor grad kommet av at det har vært svært tydelig både for elever og lærere hvem som kunne og ikke kunne, nettopp fordi skolematematikken har ligget så langt fra matematikernes matematikk og villet ha klare rett- eller galt-svar heller enn antagelser og utprøving². Her har man gjort en helomvending fra denne tankegangen, så lærerne vil oftere avstå fra å gi eller si hva som er rett eller galt, og slik overlate mer av ansvaret til elevene. Lar man hele klassen diskutere i lag, kan de sammen finne ut av nye ting de har lært. Dette gir også anledning for læreren til å avdekke forvirring, misoppfatninger, eller noe som bare er forstått delvis av elevene. Spørsmålet «Hvorfor tenker du det?» står sentralt i denne avdekningen. I tillegg til diskusjon i hel klasse, tar boka også opp diskusjon i mindre grupper, og diskusjon med en partner – som hver for seg også åpner for nye muligheter og samarbeid. Særlig det å diskutere i par kan la reserverte elever få gi sitt innspill til denne ene partneren – om ikke til hele klassen. I tillegg gir dette elever som ikke helt har forstått, en de kan spørre – og kan ikke den andre heller så kan de spørre hele resten av klassen sammen⁹.

I Classroom Discussions⁹ snakker de også om Conceptual knowledge og Procedural knowledge, som vi anser for å være det samme som det Kilpatrick et al.⁸ kaller for Conseptual understanding  og Procedural fluency. Her sies det at samtaler i klasserommet særlig hjelper på elevenes Conceptual knowledge – som igjen påvirker elevenes Procedural knowledge. Det er mulig å ha mye Procedural knowledge uten å ha noe særlig Conceptual knowledge, noe som i så fall vil bety at eleven har en instrumentell forståelse. Vil man at elevene skal ha en relasjonell forståelse, er det altså viktig å legge opp til at de skal få nok Conceptual knowledge gjennom undervisningen – til tross for at dette kanskje innebærer å bruke vanskeligere metoder og vil ta mere tid enn de metodene som fører til Procedural knowledge. Gjennom samtaler kan læreren få et innblikk i hvor mye Conceptual knowledge hver enkelt elev virkelig har. Fordelen ved at elevene har Conceptual knowledge, er at de ikke så lett blander sammen de ulike reglene som finnes i matematikk. Så lenge de har skjønt de ulike stegene i utregninger, og hvordan reglene henger logisk sammen, kan de enkelt tenke seg tilbake igjen til det glemte, anslå rimeligheten til et svar, og ta i bruk nye metoder i nye situasjoner. Underveis i opplæringen til en elev, vil nok mengden Procedural- og Conceptual knowledge forekomme i ulike mengder – iblant vil det være naturlig at eleven har mer av det ene enn det andre. Det er allikevel koblingen mellom disse to som er avgjørende for en god og solid matematikkforståelse⁹.

For å kunne gi elevene den kunnskapen de trenger, må læreren kjenne elevene sine og det nivået de til enhver tid ligger på. I boka Extending Children’s Mathematics – Fractions and Decimals¹¹ er det skrevet om undervisning som blant annet bygger på CGI, altså Cognitively Guided Instruction. Dette er undervisning hvor vurdering integreres i undervisningen, altså formativ vurdering, slik at vurderingen blir en verdifull del av undervisningen og hjelper læreren til å velge ut nye oppgaver til elevene. Gjennom kontinuerlig vurdering av elevenes forståelse, klarer læreren å velge ut passende oppgaver som de kan løse, og elevene vil hele tiden ha oversikt over hva de faktisk kan og hva de må gjøre for å komme videre^2;12. Hovedfokus i dette arbeidet ligger på hvordan elever kan imponere når de bare får tenke ut ting på egenhånd, og hvilken matematisk forståelse de kan få ut av dette. Selvfølgelig skal ikke læreren være fraværende i denne prosessen, men derimot tilrettelegge, veilede og hjelpe elevene på vei ved å stille de riktige spørsmålene og finne den løsningsmetoden som passer for dem og deres nivå^3;11.

Figur E. Eksempel fra klasserom der læreren bruker CGI.

I kapittelet A Vision for a Better Future, forklarer Boaler² hvordan man kan jobbe med prosjektbasert læring og gi rom for mer kommunikasjon, også mellom elevene, i sin undervisning. Elevene ble blant annet gitt prosjekter som krevde matematikk for å løses. Hvilken matematikk og hvilke metoder de ville bruke for å klare dette, fikk de velge selv. Her får eleven oppgaver uten noen voldsom instruksjon fra lærer, men får dette etter hvert som de trenger det. Det må være oppgaver som utfordrer på ulike nivåer, slik at forskjellige løsningsmetoder kan komme i bruk. I de klassene Boaler observerte, fikk elevene selv velge hvem de ville jobbe sammen med, eller om de helst ville være alene. I andre sammenhenger kan det være et poeng at læreren velger grupper, og kanskje bevisst sette sammen elever på like, eller ulike, ferdighetsnivåer i matematikk. Prosjektene kunne ha ulike varigheter – alt fra timer til uker. I skolene der elevene brukte disse metodene, så man at de hadde fått med seg bedre holdninger, mer allment nyttig matematikk og ikke minst verktøy for å klare å bruke det i nye situasjoner – både på prøver og seinere i livet. På skoler der tradisjonell undervisning var brukt, gjorde de det dårligere på prøver fordi de ikke klarte å ta i bruk det de hadde gjennomgått i matematikkundervisningen, og heller ikke så nytten av dette seinere i livet. I filmklippet nedenfor vises det hvordan det går an å arbeide prosjektbasert. Den viser et idealbilde som i mange tilfeller vil være vanskelig å oppnå både på grunn av tilgang på tid, finansiering og andre ressurser. Likevel velger vi å ta den med fordi den kan være til inspirasjon og inneholder noen gode poenger angående prosjektbasert læring.

Figur F. 5 nøkkelpunkter til en fullstendig prosjektbasert læring.

Tanker å ta med seg videre

Vi har gjennom vår studie sett hvordan man som lærer kan gi en bedre tilpasset opplæring ved å undervise og tenke på andre måter enn det som kanskje er gjort de siste årene. Tidene har forandret seg, og det å komme med oppgulpet memorering vil i mindre og mindre grad anses som kunnskap fordi det ikke er like viktig i dagens samfunn. Derfor blir det også viktigere å lære på en mer sammenhengende og generalisert måte, altså det vi har omtalt som relasjonell forståelse⁴, Conseptual understanding⁸ og –knowledge⁹ – og ikke minst kreative⁵ og induktive⁹ metoder.

Innen elevene begynner på ungdomsskolen, er de på mange måter ferdig definerte i forhold til hvordan de arbeider med matematikk. Vi skal selv bli lærere på 5.-10. trinn, noe som betyr at vi vil få elever som er vant til å lære på en viss måte fra før av. Det kan by på mange utfordringer å skulle undervise på en relasjonell måte til elever som er vant til å lære instrumentelt. Hvis elevene bare er interesserte i regler og rette svar, kan det å prøve å lære dem sammenhengene og bakgrunnen for det som læres, føles fåfengt. Det er som regel enklere å skjønne og lære instrumentelt, og det tar mindre tid⁴. Dette vet elevene å sette pris på, men som lærer må man ta ansvar og gi dem metoder som gjør at de lærer for ettertida også. For å bli en lærer som gir elevene en relasjonell forståelse, må man jobbe både hardt og lenge – og det holder dermed ikke å være den eneste læreren som går inn for det. Særlig støtte fra andre matematikklærere vil være uvurderlig. Selv om det i hverdagen og rent umiddelbart vil være tidskrevende å jobbe for en relasjonell forståelse, vil man uansett spare tid i det lange løp, og ikke minst stå igjen med et mye større læringsutbytte for sine elever. Å lære relasjonelt vil gå fortere desto mer du gjør det, fordi det bygger på kunnskap en allerede besitter. Det sier seg selv at dette krever kunnskapsrike lærere med oversikt. Ikke minst gjelder dette i de tilfellene hvor man skal la elevene jobbe med åpne oppgaver, hvor altså løsningene deres kan ta uventede veier.

I hovedrapporten til PISA¹⁰, mener Klette (2013) at god undervisning ikke kan oppsummeres i noen få utvalgte arbeidsmetoder, men heller må generaliseres til vektlegging av tre deler av undervisningen; tilegnelsessituasjoner, utprøvingssituasjoner og konsolideringssituasjoner. Man må altså alltid huske å gi elevene muligheten til å sette seg inn i nytt stoff, øve seg på å bruke det nye, og å få bekreftet at de lærer. Dette sammen med variert og tilpasset undervisning, hvor elevene får være aktive deltakere i egen læring, tror vi vil være en nøkkel til at eleven skal få mulighet til å lære for livet.

Referanser

1.      Lortie, D. C. (2002). Schoolteacher. A Sociological Study. Second edition. Chicago: University of Chicago Press.

2.      Boaler, J. (2009). The Elephant in the Classroom. Helping Children Learn and Love Maths. London: Souvenir Press Ltd.

3.      Franke, M. L., Kazemi, E. & Battey, D. (2007). Mathematics Teaching and Classroom Practice. In F. K. Lester, Jr., (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics. Vol II (s. 225-256). Charlotte, NC: Information Age Publishing Inc.

4.      Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding: Mathematics Teaching. Department of Education , University of Warwick.

5.      Lithner, J. (2007). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, 67(3), 255-276. Springer Science + Business Media B.V. 2007.

6.      Philipp, R.A. (2007). Mathematics Teachers’ Beliefs and Affect. In F. K. Lester, Jr., (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics. Vol II (s. 257-315). Charlotte, NC: Information Age Publishing Inc.

7.      Ma, L. (2010). Knowing and Teaching Elementary Mathematics. Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. Anniversary edition. New York: Routledge.

8.      Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. Washington, DC: National Academy Press.

9.      Chapin, S.H., O’Connor, C. & Anderson, N. C. (2003). Classroom Discussions. Using Math Talk to Help Students Learn, Grades 1-6. Sausalito, CA: Math Solutions Publications.

10.  Olsen, R. V. (2013). Undervisning i matematikk. I Kjærnsli, M. & Olsen, R. V. (red.),

Fortsatt en vei å gå. Norske elevers kompetanse i matematikk, naturfag og lesing i PISA 2012. (s. 121-156). Oslo: Universitetsforlaget AS.

11.  Empson, S. B. & Levi, L. (2011). Extending Children’s Mathematics – Fractions and Decimals. Innovations in Cognitively Guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.

12.  Wiliam, D. (2007). Keeping Learning on Track. Classroom Assessment and the Regulation of Learning. In F. K. Lester, Jr., (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics. Vol II (s. 1053-1098). Charlotte, NC: Information Age Publishing Inc. 

Figur A: http://www.slideshare.net/aballing/technology-quotes (12.12.14)
Figur B: https://twitter.com/alaingarner (12.12.14)
Figur C: https://www.youtube.com/watch?v=uOMK6tmHUL8 (12.12.14)
Figur D: http://mason.gmu.edu/~jsuh4/teaching/strands.htm (12.12.14)
Figur E: https://www.youtube.com/watch?v=uIwfwvW9ugk (12.12.14)
Figur F: https://www.youtube.com/watch?v=hnzCGNnU_WM (12.12.14)